🎲 윷놀이 확률 계산기

이 계산기로 알 수 있는 것

설날과 연말 모임에서 빠지지 않는 윷놀이에서 도·개·걸·윷·모·빽도가 나올 확률, 한 턴에 평균 몇 칸을 가는지, 앞서 가는 상대 말과 몇 칸 차이일 때 잡을 확률이 얼마인지를 계산해요. 윷가락이 평평한 면(배)으로 나올 확률을 바꿔 볼 수 있어서 직접 만든 윷이나 던지는 방법에 따라 달라지는 값도 확인할 수 있고, 윷을 직접 던져 보거나 1,000번 던져 계산한 값과 비교해 볼 수 있어요. 입력값은 이 브라우저 안에서만 쓰고 저장하거나 전송하지 않아요.

사용법

1. 가락이 평평한 면으로 나올 확률을 넣어요. 따로 알지 못하면 50%로 두세요. 40·50·60·70% 버튼으로 바로 바꿀 수 있어요.
2. 앞서 가는 상대 말과의 거리를 칸 수로 넣어요. 바로 앞이면 1, 한 칸 건너면 2예요.
3. 표에서 각 윷 결과의 확률, 한 턴 평균 이동 칸, 5칸 이상 갈 확률, 상대 말을 잡을 확률을 확인해요.
4. 윷 던지기 버튼은 가락 4개를 던져 결과를 보여 주고, 맨 왼쪽 빨간 테두리 가락이 빽도 표시 가락이에요.
5. 1,000번 던져 보기는 같은 확률로 1,000번 던진 결과를 막대로 보여 줘요. 계산한 기댓값과 얼마나 다른지 보세요.

계산 원리

• 가락 4개 각각이 배로 나올 확률을 f, 등으로 나올 확률을 1−f 라고 해요. 4개가 서로 독립이면 배가 k개 나올 확률은 C(4,k)·f^k·(1−f)^4−k 예요.
• 배 1개가 도(1칸), 2개가 개(2칸), 3개가 걸(3칸), 4개가 윷(4칸), 0개가 모(5칸)예요.
• 배 1개 중에서 표시가 있는 가락이 배로 나온 경우는 빽도(뒤로 1칸)로 쳐요. 전체 16가지 중 1가지라서 f=50%일 때 도는 3/16, 빽도는 1/16이에요. 빽도 규칙이 없는 놀이라면 도와 빽도를 합친 4/16로 보면 돼요.
• 윷이나 모가 나오면 한 번 더 던져요. 윷·모가 나올 확률을 q 라고 하면 한 턴에 던지는 평균 횟수는 1/(1−q) 예요.
• 계산기는 파이썬 분수(Fraction) 정확값과 대조했고, 16가지 경우를 전수로 나열해 확인했으며, 20만 턴 모의실험의 평균·확률도 일치했어요.

직접 검산한 숫자 1: 가락이 50%일 때의 확률

가장 많이 나오는 건 개(37.5%)예요. 윷과 모는 각각 6.25%, 합쳐서 12.5%라서 평균 8번에 1번꼴로만 한 번 더 던질 수 있어요. 한 턴에 던지는 평균 횟수는 1.14번이고, 빽도를 -1칸으로 치면 한 턴 평균 이동은 2.50칸이에요.

직접 검산한 숫자 2: 상대 말을 잡을 확률

앞서 가는 상대 말과의 거리가 d칸일 때, 한 말로 던진 순서대로 가다가 정확히 d칸에 서는 확률이에요(지름길 없음, 윷·모는 한 번 더 던지고 도·개·걸에서 턴이 끝나는 것으로 계산).

2칸 떨어져 있을 때 잡을 확률이 37.5%로 가장 높고, 3칸이 25.0%, 1칸이 18.8%예요. 4칸은 윷이 나와야 해서 6.2%로 뚝 떨어져요. 5칸은 모 한 번 또는 윷 뒤에 도가 나오는 경우를 합쳐 7.4%, 6칸은 윷 뒤에 개가 나와야 해서 3.5%, 7칸은 3.9%예요. 따라서 같은 거리에서도 내 말이 상대 말 바로 뒤 2~3칸에 있을 때가 잡기 가장 좋아요.

직접 검산한 숫자 3: 가락 상태에 따라 달라지는 확률

손으로 던지는 윷은 같은 가락이라도 배가 나올 확률이 정확히 50%가 아닐 수 있어요. 아래는 가락마다 배가 나올 확률을 달리 가정했을 때의 값이에요(가락의 실제 성질은 직접 던져 봐야 알 수 있어요).

배가 나올 확률이 60%로 올라가면 윷은 13.0%로 늘고 모는 2.6%로 줄어요. 40%면 그 반대예요. 윷이 잘 나오는 쪽으로 기울면 모가 잘 안 나오고, 모가 잘 나오는 쪽으로 기울면 윷이 잘 안 나오는 구조라서 두 값의 합이 최소가 되는 건 50%일 때예요.

한 턴에 5칸 이상 가는 확률

가락이 50%일 때 한 턴(윷·모가 나오면 이어 던짐)에 5칸 이상 이동할 확률은 12.1%예요. 모 한 번, 윷 뒤에 도 이상, 걸·개로 끝나지 않는 이어 던짐을 모두 합친 값이고, 대부분의 턴은 도·개·걸 한 번으로 끝나요. 한 판에 말이 보통 20칸 안팎을 돌아야 하니 평균 2.5칸이면 여덟 번쯤의 턴이 필요하다는 뜻이에요.

윷놀이 하기 전에 점검할 것

• 윷판 규칙 정하기: 빽도를 쓸지, 윷·모에서 한 번 더 던지는 횟수 제한이 있는지, 말을 업을 수 있는지를 먼저 합의해 두세요. 규칙이 달라지면 이 표의 숫자도 달라져요.
• 던지는 방법: 가락이 한쪽으로만 구르지 않게 충분히 높이 던지고, 같은 높이에서 떨어뜨리는 것이 공정해요.
• 잡을 거리 보기: 상대 말보다 2~3칸 뒤에 서는 쪽이 잡을 확률이 높아요. 반대로 상대는 2~3칸 앞에 바짝 붙어 있으면 위험해요.
• 지름길 주의: 윷판의 모서리(모)에서는 지름길로 들어갈 수 있어서 칸 수가 달라져요. 이 계산기는 지름길을 반영하지 않아요.
• 말 선택: 같은 던짐을 다른 말에 쓰는 선택까지 더하면 잡을 확률은 표보다 높아질 수 있어요. 표는 한 말만 쓸 때의 값이에요.

읽을 때 주의할 점

• 가락 4개가 서로 독립이고 모두 같은 확률로 배가 나온다는 전제예요. 실제 윷은 가락의 두께·무게에 따라 다를 수 있어요.
• '직접 윷 던지기'는 브라우저 난수를 쓴 모의실험이라 누를 때마다 결과가 달라요.
• 잡을 확률 계산에서 빽도는 앞으로 못 가는 던짐이라서 그 턴은 끝나는 것으로 봤어요.
• 윷놀이 규칙 설명은 윷놀이 (위키백과)를 참고하세요.
• 같이 보면 좋은 도구: 확률 계산기, 가위바위보 확률 계산기, 송년회 게임.

자주 묻는 질문

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