smith설날이나 연말 가족 모임에서 윷판이 펼쳐지면 늘 나오는 말이 있어요. "왜 이렇게 모가 안 나와?", "개만 나오네." 결론부터 말하면 가락 4개가 공평할 때 가장 자주 나오는 건 개(37.5%) 이고, 윷과 모는 각각 6.25%라서 합쳐도 16번에 2번꼴이에요. 모가 안 나오는 게 이상한 일이 아니에요.
이 글에서는 도·개·걸·윷·모·빽도가 나올 확률을 16가지 경우로 직접 나열해 보고, 한 턴에 평균 몇 칸을 가는지, 상대 말을 잡기 가장 좋은 거리가 몇 칸인지, 윷이 한쪽으로 기울어졌을 때 확률이 어떻게 바뀌는지를 정리해요. 지름길은 계산에 넣지 않았고, 가락 4개가 서로 독립이라는 가정이에요. 윷판 모양과 규칙은 모임마다 조금씩 달라서, 합의한 규칙에 따라 숫자를 읽어 주세요.
도개걸윷모 확률은 16가지 경우로 나눠 봐요
가락 하나가 평평한 면(배)이 위로 나오거나 둥근 면(등)이 위로 나오는 두 가지뿐이라서 4개를 던지면 경우의 수는 2×2×2×2 = 16가지예요. 가락마다 배가 나올 확률이 같다면 16가지가 모두 같은 확률이에요. 배가 몇 개 위로 나왔는지에 따라 이름이 붙어요.
| 결과 | 배가 위로 나온 가락 수 | 경우의 수 | 확률 | 이동 |
|---|---|---|---|---|
| 도 | 1개 (표시 가락 제외) | 3 | 18.75% | 1칸 |
| 개 | 2개 | 6 | 37.5% | 2칸 |
| 걸 | 3개 | 4 | 25% | 3칸 |
| 윷 | 4개 | 1 | 6.25% | 4칸 + 한 번 더 |
| 모 | 0개 | 1 | 6.25% | 5칸 + 한 번 더 |
| 빽도 | 표시 가락만 배 | 1 | 6.25% | 뒤로 1칸 |
여기서 눈여겨볼 점이 두 가지 있어요. 첫째, 개가 걸보다 1.5배 많이 나와요. 배가 2개 나오는 조합(C(4,2))이 6가지로 가장 많기 때문이에요. 둘째, 도가 18.75%로 걸(25%)보다도 적어요. 표시 가락 하나가 배로 나온 경우를 빽도로 따로 빼기 때문이에요. 빽도 규칙을 쓰지 않는다면 도는 4/16, 즉 25%예요.
한 턴에 평균 몇 칸을 갈까
윷이나 모가 나오면 한 번 더 던지니 한 턴의 길이가 달라져요. 한 번 던져 윷이나 모가 나올 확률은 12.5%예요. 계속 이어서 던지는 경우를 모두 합치면 한 턴에 던지는 평균 횟수는 1 ÷ (1 − 0.125) = 1.14번 이에요.
빽도를 −1칸으로 보고 한 턴 평균 이동을 계산하면 이래요. 한 번 던질 때의 합은 도 1×3 + 개 2×6 + 걸 3×4 − 빽도 1×1 + 윷 4×1 + 모 5×1 = 35 이고, 이것을 16으로 나눈 뒤 윷·모로 이어 던지는 몫까지 반영하면(35/16 ÷ 0.875) 2.5칸 이에요. 전통 윷판의 바깥 길이 20칸이라고 보면, 말 하나가 바깥 한 바퀴를 도는 데 평균 8턴쯤 걸린다는 뜻이에요. 말 4개 전부를 보내려면 이론상 평균 32턴쯤이고, 지름길을 쓰면 이보다 줄어요.
| 한 턴에 | 확률 |
|---|---|
| 1칸 이상 간다 (빽도가 아니다) | 93.75% |
| 2칸 이상 간다 | 75% |
| 3칸 이상 간다 | 37.5% |
| 4칸 이상 간다 | 12.5% |
| 5칸 이상 간다 | 12.1% |
| 8칸 이상 간다 | 3.1% |
| 10칸 이상 간다 | 1.4% |
4칸 이상(12.5%)과 5칸 이상(12.1%)이 거의 같은 건 윷이나 모 한 번이 모두 4칸 이상이기 때문이에요. 윷이 나온 뒤 빽도가 나오면 4칸 이상은 맞지만 5칸 이상은 아닌 차이가 생겨요. 한 턴에 8칸 이상 가려면 윷·모를 두 번 이상 연속으로 던져야 해서 3.1%에 그쳐요. 윷이나 모가 연속 두 번 나올 확률(0.125의 제곱)은 1.56%, 세 번 연속은 0.2%예요.
상대 말을 잡기 좋은 거리는 몇 칸일까
윷놀이의 재미는 상대 말을 잡는 데 있어요. 상대 말이 내 말 앞에 d칸 떨어져 있을 때, 한 말로 던진 순서대로 가다가 정확히 그 칸에 서는 확률을 구해 봤어요. 도·개·걸에서는 턴이 끝나고, 윷·모에서는 한 번 더 던진다고 보고, 지름길은 쓰지 않았어요.
| 거리 | 잡을 확률 | 어떻게 잡나 |
|---|---|---|
| 1칸 | 18.75% | 도 |
| 2칸 | 37.5% | 개 |
| 3칸 | 25% | 걸 |
| 4칸 | 6.25% | 윷 |
| 5칸 | 7.4% | 모, 또는 윷 뒤에 도 |
| 6칸 | 3.5% | 윷 뒤에 개 |
| 7칸 | 3.9% | 윷 뒤에 걸, 모 뒤에 개 |
| 8칸 | 2.0% | 윷 뒤에 윷 뒤에 …, 모 뒤에 걸 등 |
| 10칸 | 0.7% | 윷·모를 여러 번 이어서 |
가장 눈에 띄는 건 4칸이 6.25%로 뚝 떨어진다는 점이에요. 4칸은 윷 한 가지로만 잡을 수 있어서 개나 걸이 나올 때보다 6배 어려워요. 내 말이 상대 말 바로 뒤 2~3칸에 서 있을 때 잡을 확률은 개 또는 걸 한 번으로 62.5%예요. 반대로 상대 입장에서는 내 말 앞 2~3칸에 붙어 있으면 위험하고, 4칸 이상 떨어지면 훨씬 안전해요.
여기서 한 가지 더 알 수 있는 건, 말 두 개가 각각 2칸과 3칸 뒤에 있으면 한 번 던져서 잡을 확률이 개(37.5%)나 걸(25%) 중 하나 62.5%로 올라간다는 점이에요. 말을 여러 개 판에 풀어 두면 잡을 거리를 만들기 쉬워요. 반대로 말을 업어서 한 덩이로 움직이면 한 번에 잡히는 말이 늘어나서 위험도 커져요.
윷가락이 한쪽으로 기울어져 있으면
손으로 던지는 윷은 가락의 모양과 무게, 던지는 높이와 바닥의 재질에 따라 배가 나올 확률이 정확히 50%가 아닐 수 있어요. 배가 나올 확률을 f라고 하고 직접 계산한 값을 보면 이래요.
| 배가 나올 확률 | 도 | 개 | 걸 | 윷 | 모 | 한 턴 평균 이동 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 40% | 25.9% | 34.6% | 15.4% | 2.6% | 13.0% | 2.46칸 |
| 50% | 18.8% | 37.5% | 25.0% | 6.3% | 6.3% | 2.50칸 |
| 60% | 11.5% | 34.6% | 34.6% | 13.0% | 2.6% | 2.90칸 |
| 70% | 5.7% | 26.5% | 41.2% | 24.0% | 0.8% | 3.73칸 |
(빽도는 40%에서 8.6%, 60%에서 3.8%, 70%에서 1.9%예요.) 배가 많이 나오는 윷일수록 걸과 윷이 늘고 도와 모가 줄어요. 반대로 등이 잘 나오는 윷이면 도와 모가 늘어요. 윷과 모를 합친 확률은 50%일 때 12.5%로 가장 작고, 어느 쪽으로 기울어도 커져서 한 번 더 던지는 일이 많아져요. 한 턴에 던지는 평균 횟수는 50%에서 1.14번, 60%와 40%에서 1.18번, 70%에서 1.33번이에요.
잡을 확률도 달라져요. 2칸 거리는 50%에서 37.5%지만 60%에서는 34.6%, 70%에서는 26.5%로 줄고, 4칸 거리는 50%에서 6.25%, 60%에서 13.0%, 70%에서 24.0%로 크게 늘어요. 그러니 윷이 한쪽으로 잘 나오는 판에서는 "2~3칸이 최고"라는 공식이 맞지 않을 수 있어요. 표를 보고 판을 읽은 뒤에 거리를 정하세요.
사람들이 흔히 하는 오해
- "모가 안 나오는 건 이상하다": 모는 16번 던질 때 한 번 나오는 확률이에요. 16번 던져서 모가 한 번도 안 나올 확률이 약 35.6%(1−64.4%)라서 열 번 중 서너 번은 모가 없는 판이 돼요.
- "개가 연속으로 나오면 이상하다": 개가 5번 연속으로 안 나올 확률은 9.5%지만, 다섯 번 연속으로 개가 나올 확률도 0.7%쯤은 돼요. 던질 때마다 독립이라서 앞의 결과가 다음을 바꾸지 않아요.
- "윷이 나온 뒤엔 모가 안 나온다": 한 번 더 던져도 확률은 똑같이 6.25%예요. 직전 결과와 상관없어요.
- "세게 던지면 윷이 잘 나온다": 던지는 방법에 따라 달라질 수는 있지만, 이 글의 계산은 공평한 가락을 전제로 해요.
이기는 판 운영 요령
- 상대 말과의 거리를 읽어요. 내 말이 상대 말 뒤 2~3칸에 있으면 한 번에 잡을 확률이 높고, 4칸 이상 떨어져 있으면 확률이 급격히 떨어져요.
- 말을 한 곳에 몰지 마요. 두 말을 서로 다른 거리에 두면 개와 걸 모두 잡을 기회가 돼요. 단, 업은 말이 잡히면 한꺼번에 돌아가요.
- 빽도는 규칙을 먼저 정해요. 빽도를 쓰면 도가 3/16로 줄어요. 규칙이 다르면 이 글의 숫자도 달라지니 시작 전에 합의하세요.
- 윷·모를 기다리지 마요. 평균 이동 2.5칸으로 한 바퀴를 돌 때 윷이나 모는 12.5%밖에 안 돼요. 개와 걸로 꾸준히 가는 쪽이 안정적이에요.
- 윷판이 달라지면 계산도 달라요. 지름길에서 칸 수가 줄고 늘어 거리 계산이 바뀌니, 지름길 앞에서는 도착 칸을 다시 세어 보세요.
윷놀이 확률 계산기에서 가락의 배 확률을 바꿔 보고, 상대 말과의 거리를 넣어 잡을 확률을 확인할 수 있어요. 모임에서 윷을 직접 던져 보는 기능도 있어요. 가위바위보로 순서를 정한다면 가위바위보 확률 계산기도 함께 보세요. 일반적인 확률 계산은 확률 계산기로 할 수 있어요.
자주 묻는 질문
윷놀이에서 개가 가장 많이 나오는 이유는 뭔가요?
가락 4개 중 2개가 배로 나오는 조합이 C(4,2) = 6가지로 가장 많아서예요. 16가지 중 6가지이니 37.5%예요. 걸(4가지)이나 도(3가지)보다 많이 나오는 건 이 조합의 수 때문이에요.
빽도가 있으면 도 확률이 왜 줄어드나요?
표시한 가락 하나만 배로 나온 경우를 빽도로 따로 계산하기 때문이에요. 배가 1개 나오는 4가지 중 표시 가락이 배인 1가지는 빽도(6.25%), 나머지 3가지는 도(18.75%)예요. 빽도 없이 하면 도는 25%예요.
윷이나 모가 나와 한 번 더 던질 확률은 얼마인가요?
가락이 공평하면 윷 6.25%와 모 6.25%를 합쳐 12.5%예요. 한 턴에 던지는 평균 횟수는 1.14번이에요.
상대 말을 잡을 때 가장 좋은 거리는 몇 칸인가요?
지름길이 없다고 볼 때 2칸이에요. 개가 나올 확률이 37.5%로 가장 높고, 3칸(25%)과 1칸(18.75%)이 그다음이에요. 4칸은 윷이 나와야 해서 6.25%예요.
한 턴에 평균 몇 칸을 가나요?
가락이 공평하고 빽도를 −1칸으로 보면 2.5칸이에요. 윷·모로 한 번 더 던지는 몫까지 포함한 값이에요.
윷가락이 한쪽으로 잘 나오면 계산은 어떻게 바뀌나요?
배가 나올 확률이 60%면 걸이 34.6%, 개도 34.6%로 같아지고 윷이 13.0%로 늘어요. 70%면 걸이 41.2%로 가장 많아요. 가락 상태는 직접 던져 보며 확인하고, 계산기에서 확률을 바꿔 보세요.
정리
윷놀이 확률은 16가지 경우로 단순하게 정리돼요. 개 37.5%, 걸 25%, 도 18.75%, 윷·모·빽도 각 6.25%예요. 한 턴에 평균 2.5칸을 가고, 상대 말을 잡기 가장 좋은 거리는 2~3칸이며 4칸 이상은 확률이 크게 떨어져요. 가락이 기울었다면 숫자가 달라지니 윷놀이 확률 계산기로 우리 모임의 윷 상태에 맞게 계산해 보세요.
윷놀이의 유래와 규칙에 대해서는 한국학중앙연구원 한국민족문화대백과사전에서 '윷놀이'를 검색해 보거나 윷놀이 (위키백과) 문서를 참고하세요. 이 글의 확률은 가락 4개가 독립이고 지름길이 없다는 가정으로 계산했고, 실제 판의 결과는 규칙과 던지는 방법에 따라 달라질 수 있어요.