🃏 포토카드·띠부씰 컴플릿 계산기

이 계산기로 알 수 있는 것

포토카드, 띠부씰, 빵 스티커, 편의점 굿즈처럼 랜덤으로 한 개씩 나오는 수집품은 전종을 다 모으기까지 생각보다 많이 필요해요. 이 계산기는 전체 종류 수만 넣으면 전종을 모으는 데 걸리는 평균 개수, 90%·99% 확률로 컴플릿하는 데 필요한 개수, 이미 모은 종류를 반영한 남은 개수, 특정 한 종(최애)이 나올 확률을 구해요. 직접 뽑아 보는 버튼과 1,000번 반복해 보는 버튼도 있어서 평균이 실제로 어떻게 흩어지는지 눈으로 볼 수 있어요. 입력값은 이 브라우저 안에서만 쓰고 저장하거나 전송하지 않아요.

사용법

1. 전체 종류 수를 넣어요. 7·12·24·50종 버튼으로 바로 바꿀 수 있어요.
2. 이미 모은 종류 수를 넣으면 남은 종류를 채우는 평균 개수가 바뀌어요. 처음부터라면 0이에요.
3. 뽑을 개수에는 지금까지 뽑은 개수 또는 앞으로 살 개수를 넣어요. 그 개수로 컴플릿할 확률이 나와요.
4. 아래 칸에서 1개 뽑기, 10개 뽑기, 컴플릿까지 뽑기를 눌러 직접 모아 볼 수 있어요. 노란 테두리는 방금 새로 나온 종류예요.
5. 1,000번 컴플릿해 보기는 같은 조건을 1,000번 반복해서 가장 빠를 때와 가장 오래 걸릴 때를 보여 줘요.

계산 원리

• 모든 종류가 같은 확률로 나온다고 보면, 이미 k종을 모았을 때 새 종류가 나올 확률은 (n−k)/n 이에요. 새 종류가 나올 때까지 평균 n/(n−k)개가 필요해요.
• 이 평균을 처음부터 끝까지 더하면 n × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) 이에요. 괄호 안은 조화수라고 하고, 이 문제를 수학에서는 쿠폰 수집가 문제라고 불러요.
• m개를 뽑아 전종을 모을 확률은 포함·배제 원리로 Σ (−1)^k × C(n,k) × (1 − k/n)^m 이에요.
• 특정 1종이 m개 안에 나올 확률은 1 − (1 − 1/n)^m 이에요. n개를 뽑아도 약 64~65%에 그쳐요(1 − 1/e에 가까워져요).
• 계산기는 파이썬 분수(Fraction) 정확값과 대조했고, 10종을 6만 번 모의실험한 평균과 확률도 일치하는 것을 확인했어요.

직접 검산한 숫자 1: 종류 수별 필요 개수

평균은 종류 수가 늘어날수록 n보다 훨씬 빠르게 커져요. 아래는 계산한 값이에요.

12종이면 평균은 37.2개예요. 종류 수의 3배쯤 되는 숫자죠. 하지만 평균만 믿고 37개를 사면 컴플릿할 확률은 59.3%밖에 안 돼요. 90% 확률로 안심하려면 55개, 99%라면 82개가 필요해요. 50개 종류라면 평균 225.0개, 99%는 422개예요.

직접 검산한 숫자 2: 12종을 모을 때 몇 개 뽑으면 컴플릿할까

• 30개를 뽑으면 컴플릿 확률은 35.9%
• 40개를 뽑으면 67.3%
• 60개를 뽑으면 93.6%

12종 한 세트를 받고 싶어서 40개를 샀는데 아직 빈 칸이 남았다면 그리 이상한 일이 아니에요. 10번 중 3번쯤은 그런 일이 생겨요.

직접 검산한 숫자 3: 거의 다 모았을 때가 제일 오래 걸려요

컴플릿이 어려운 이유는 마지막 몇 장이 몰려 있기 때문이에요. 12종 중 일부를 이미 모았다면 남은 평균은 이래요.

하나도 안 모은 상태에서 첫 종류는 1개면 충분하지만, 11종을 모은 뒤 마지막 1종은 평균 12개를 뽑아야 해요. 종류별 평균 개수를 보면 이렇게 늘어요.

전체 평균 37.2개 가운데 마지막 두 종류를 채우는 데만 평균 18개(12 + 6)가 들어요. 절반 가까이를 마지막 두 종류에 쓰는 셈이에요.

최애 한 종만 노린다면

전종이 아니라 특정 한 종만 원하면 평균 n개가 필요해요. 그런데 평균만큼 뽑아도 나올 확률은 12종에서 64.8%, 24종에서도 64.0%예요. 확실하게 얻으려면 평균의 2~3배가 필요하다는 뜻이에요. 반대로 운이 좋으면 첫 뽑기에서 나올 수도 있어요. 확률이 낮은 종류가 섞인 경우는 이 계산기의 가정(모두 같은 확률)과 달라서 평균이 더 늘어나요. 그럴 때는 뽑기·천장 계산기가 도움이 돼요.

사 모으기 전에 점검할 것

• 같은 확률인지 확인: 일부 종류가 시크릿·한정이라서 확률이 낮다면 이 계산보다 더 많이 필요해요.
• 교환 가능성: 친구와 교환하거나 중고로 빈 칸만 사면 전체를 뽑기로 채우는 것보다 훨씬 덜 들어요. 한두 장 남았다면 개당 가격이 몇 배라도 중고가 낫기도 해요.
• 예산 상한: 평균 개수에 개당 가격을 곱한 뒤, 99% 개수에 곱한 값도 같이 보세요. 둘의 차이가 감당할 수 있는 최대 지출이에요.
• 세트 구성: 박스 단위로 종류가 고르게 들어 있다면 낱개 뽑기보다 훨씬 유리해요. 박스 구성이 공개돼 있는지 확인하세요.
• 충동구매 방지: 목표 개수를 미리 정하고, 도달하면 멈추는 규칙을 정해 두세요. 마지막 한 장이 남을수록 계속 사고 싶어지는 게 정상이에요.

읽을 때 주의할 점

• 모든 종류가 정확히 같은 확률로, 서로 독립적으로 나온다는 전제예요. 실제 상품은 포장 방식이나 제작 비율에 따라 달라질 수 있어요.
• '직접 뽑아 보기'는 브라우저 난수를 쓴 모의실험이라 누를 때마다 결과가 달라요.
• 실제 구매를 권하는 도구가 아니에요. 유료 확률형 상품의 확률 표시나 환불 기준은 판매처 안내를 확인하세요.
• 수학적 배경은 Coupon collector's problem (Wikipedia)를 참고하세요.
• 같이 보면 좋은 도구: 포토카드 수집 체크리스트, 뽑기·천장 계산기, 확률 계산기.

자주 묻는 질문

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