🎁 선물 교환 확률 계산기

이 계산기로 알 수 있는 것

송년회나 크리스마스 모임에서 선물을 한곳에 모아 섞고 하나씩 나눠 가지면, 내가 가져온 선물이 나에게 돌아오는 일이 생각보다 자주 일어나요. 이 계산기는 참가자 수만 넣으면 아무도 자기 선물을 받지 않을 확률, 최소 한 명이 자기 선물을 받을 확률, 정확히 몇 명이 걸릴 확률을 구해요. 이름을 넣고 직접 섞어 보거나, 걸리지 않을 때까지 다시 섞는 방식으로 안전한 배치를 만들어 볼 수도 있어요. 여러 명이 하는 제비뽑기가 공평한지 궁금할 때도 쓸 수 있어요.

사용법

1. 이름을 한 줄에 한 명씩 넣어요. 2명부터 30명까지 계산하고, 이름 대신 번호만 넣어도 돼요. 4·8·12·30명 버튼으로 바로 바꿀 수 있어요.
2. 큰 숫자가 아무도 자기 선물을 못 받을 확률이에요. 아래 막대에서 자기 선물을 받는 사람이 정확히 0명·1명·2명일 확률을 볼 수 있어요.
3. 선물 섞기는 완전히 무작위로 한 번 나눠요. 내 선물이 내게 돌아오면 카드가 빨갛게 표시돼요.
4. 내 선물 안 받게 섞기는 누군가 걸리면 처음부터 다시 섞는 방식이에요. 실제 행사에서 쓰는 마니또 방식이 이거예요.
5. 1,000번 섞어 보기는 1,000번 반복해서 아무도 안 걸린 비율을 계산값과 비교해요.

계산 원리

• n명이 선물을 무작위로 나눠 갖는 방법은 n! 가지예요. 이 가운데 아무도 자기 선물을 받지 않는 방법의 수를 교란순열 D(n)이라고 해요.
• D(n)은 D(n) = (n−1) × (D(n−1) + D(n−2)) 로 구해요. D(1)=0, D(2)=1에서 시작해 D(3)=2, D(4)=9, D(5)=44, D(6)=265예요.
• 확률은 D(n) ÷ n! 이고, 같은 값을 1 − 1/1! + 1/2! − 1/3! + … ± 1/n! 으로도 구할 수 있어요.
• n이 커지면 이 값은 1 ÷ e, 즉 약 36.79%로 수렴해요. 그래서 8명이든 30명이든 확률이 거의 같아요.
• 정확히 k명이 자기 선물을 받을 확률은 (k명을 고르는 방법 수) × D(n−k) ÷ n! 이에요.

계산기는 1~8명의 모든 배치(8명이면 40,320가지)를 하나씩 나열해서 센 값과 일치하는 것을 확인했고, 12명은 20만 번 모의실험으로 교차 확인했어요.

직접 검산한 숫자 1: 인원별 확률표

인원이 늘어도 확률이 크게 달라지지 않아요. 아래는 계산한 값이에요.

4명이면 24가지 배치 중 9가지만 아무도 안 걸리고, 확률은 37.50%예요. 30명이어도 36.79%예요. 즉 모임이 크든 작든 열 번 중 6번 넘게는 누군가 자기 선물을 받아요.

직접 검산한 숫자 2: 8명이 모였을 때

8명이 선물을 섞으면 자기 선물을 받는 사람이 몇 명일지 확률은 이렇게 나와요.

0명과 1명일 확률이 36.79%로 거의 같다는 점이 재미있어요. 한 명만 걸릴 확률과 아무도 안 걸릴 확률이 거의 같고, 둘을 합하면 73.57%예요. 3명 이상 걸릴 확률은 약 8.02%로 아주 작아요. 평균은 항상 1명이라서, 선물을 섞으면 평균적으로 한 명은 자기 선물을 받는 셈이에요.

직접 검산한 숫자 3: 내가 내 선물을 받을 확률

한 사람 입장에서 보면 내 선물을 내가 받을 확률은 단순히 1/n이에요. 6명이면 16.67%, 12명이면 8.33%예요. 그런데 "여섯 명 중 누구라도"로 넓히면 확률은 1에서 36.81%를 뺀 63.19%가 돼요. 한 사람은 낮아도 모두를 합치면 꽤 커지는 거예요. 생일 역설과 같은 구조라서 생일 역설 계산기와 비교해서 보면 좋아요.

걸리지 않게 하려면 어떻게 할까

• 다시 섞기: 누군가 걸리면 처음부터 다시 섞어요. 평균적으로 약 e번(2.7번쯤) 섞으면 안전한 배치가 나와요. 가장 쉽고 공정한 방법이에요.
• 한 칸씩 밀기: 이름을 원으로 세우고 모두 한 칸씩 옆 사람의 선물을 받아요. 절대 안 걸리지만 누가 누구 선물을 받는지 예측할 수 있어서 놀이 맛은 떨어져요.
• 번호 먼저, 선물 나중: 선물에 번호표를 붙이고 자기 번호 선물이 나오면 다시 뽑게 규칙을 정해요. 뽑는 순서가 길어지면 마지막 사람만 남는 상황이 생길 수 있어서 규칙을 미리 정해 두세요.
• 비밀 마니또: 뽑은 쪽지에서 자기 이름이 나오면 다시 뽑게 해요. 이때 마지막 사람이 자기 쪽지만 남으면 처음부터 다시 해야 해요.

실제 모임에서 이렇게 진행해 보세요

1. 선물에 가격 상한(예: 1만원, 2만원)을 정해 두면 누가 어떤 선물을 받아도 아쉬움이 적어요. 상한을 정한 뒤 포장지를 모두 같은 것으로 바꾸면 누구 선물인지 알아보기 어려워서 더 공정해져요.
2. 선물마다 겉에 번호표를 붙이고, 가져온 사람만 자기 번호를 아는 상태에서 섞어요. 한 사람씩 번호를 뽑게 하면 자기 번호가 나오는지 바로 알 수 있어요.
3. 누군가 자기 선물을 뽑았다면 그 사람이 조용히 알리고 전원이 다시 섞는 규칙을 먼저 정해요. 이 규칙이 없으면 "내 선물이 나왔다"고 말하기 쑥스러워 그냥 넘어가는 일이 생겨요.
4. 인원이 많을 때는 5~8명씩 조로 나눠 따로 교환해도 확률은 거의 같아요. 어차피 최소 한 명이 걸릴 확률은 조 크기와 상관없이 약 60%대이기 때문에 큰 판 하나로 하는 게 시간이 덜 들어요.
5. 교환이 끝난 뒤 선물을 한 번 더 바꿀 수 있는 '뺏기' 규칙을 넣으면 놀이로 더 재미있지만, 계산기의 확률은 첫 배분 기준이에요.

사례로 보는 판단

• 사내 송년회 12명: 아무도 안 걸릴 확률은 36.79%이고 12명 중 최소 1명은 걸릴 확률이 63.21%예요. 한 번에 섞어서 걸린 사람이 있으면 다시 섞는 규칙으로 평균 2.7번이면 끝나요.
• 가족 4명: 24가지 배치 중 9가지만 안전해서 확률이 37.5%예요. 부모가 서로 선물을 받는 경우가 많아 가족 행사는 한 칸씩 밀기가 간편해요.
• 친구 2명: 배치가 두 가지뿐이고 서로 바꾸는 한 가지만 안전하므로 50%예요. 2명이면 그냥 서로 바꾸면 돼요.
• 3명: 6가지 중 2가지만 안전해요. 확률은 33.33%로 인원 중 가장 낮아요. 3명은 한 칸씩 밀기가 더 낫고요.

읽을 때 주의할 점

• 이 계산은 모두 선물을 한곳에 모아 완전히 무작위로 나눠 갖는 경우를 전제로 해요. 순서대로 뽑으며 자기 것이 나오면 다시 뽑는 방식은 확률이 달라요.
• 같은 사람이 선물을 여러 개 가져오거나 두 사람이 같은 선물을 가져오는 경우는 따로 계산하지 않아요.
• "직접 뽑아 보기"는 브라우저의 난수로 하는 모의실험이라 누를 때마다 결과가 달라요. 결과를 바꿔 달라고 되돌릴 수는 없어요.
• 입력한 이름은 이 브라우저 안에서만 쓰고 저장하거나 전송하지 않아요.
• 수학적 배경이 궁금하면 Derangement (Wikipedia)를 참고하세요.
• 같이 보면 좋은 도구: 마니또 뽑기, 크리스마스 선물 교환 뽑기, 확률 계산기.

자주 묻는 질문

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